Magnetostatisme dans l'air

Le théorème d'Ampère:

Le théorème d’Ampère est une des 2 équations qui gèrent la modélisation du magnétisme en régime statique. Il dit que la circulation du champ B le long d’un chemin fermé est proportionnelle au courant enlacé, soit :

En considérant une spire élémentaire quelconque autour du point M, il vient donc:

Or, d’après l’une des formules de Green Ostrogradsky,

On a donc, pour tout vecteur dS possible

On a donc, finalement:

Cette forme locale du théorème d’Ampère n’est valable que dans le vide (dans lequel circule du courant) et en régime statique.

C’est Maxwell qui introduira la notion temporelle dans l’expression de la circulation de l’induction magnétique.

La conservation du Flux:

Une expression moins élégante de dire « conservation du flux » est « tout ce qui rentre (dans une surface fermée) est égal à tout ce qui sort », soit, pour toute surface fermée (S) délimitant un volume V :

De même, d’après la démonstration des formules de Green – Ostrogradsky que l’on a faite (et non pas de leur énoncé sous forme globale), on peut écrire :

Le potentiel de Neumann:

Introduit en 1845 par Neumann, le vecteur  est défini en tout point de l’espace par

Il s’agit d’un potentiel … un potentiel vecteur possible pour l’induction. On rappelle qu’un potentiel est une grandeur dont la valeur au point M par rapport aux autres points de l’espace caractérise la propension à voir se développer un phénomène au point M (en l’occurrence le phénomène développé ici est l’apparition d’une induction) Par exemple, l’altitude est un potentiel de l’action de tomber (c’est bien l’altitude par rapport à un autre point, et non pas l’altitude absolue, qui détermine la propension à tomber vers cet autre point)

Le choix de ce potentiel découle du respect de la propriété

 On peut considérer d’autres potentiels pour l’induction, et même des potentiels scalaires, mais celui-ci simplifie grandement certaines expressions, notamment en magnéto dynamique.

Prenons par exemple l’expression de la fcem développée aux « bornes » d’une spire fermée (si elle est vraiment fermée il n’y a pas de bornes …) :

Le calcul de cette fcem se résume finalement au calcul de la circulation du potentiel A le long de la spire.

Nous verrons qu’en fait la spire n’a pas besoin d’être fermée ou quasi fermée : la fcem qui se développe le long d’un conducteur ohmique en général a pour expression

C’est pour arriver à cette expression simple que l’on a posé 

 Si ce conducteur ohmique est une spire fermée alors 

Cette expression n’est pas une loi de départ, mais bien la conséquence, dans le cas d’une spire fermée, des phénomènes décrits par les équations de Maxwell, qui peuvent être réduites au nombre de 4 (pour l’instant nous en avons présenté 2, sous une forme simplifiée en régime statique)

Conclusion:

Les 2 équations

régissent à elles seules l’apparition dans le vide (plus généralement dans l’air) du champ B tel qu’un volume élémentaire dτ appartenant à l’espace considéré, et en lequel on observe un débit volumique de courant  j, subisse une force

Le fait que ce volume élémentaire, qui subit la force de Laplace, est lui-même source de l’induction magnétique que l’on peut évaluer à l’aide des 2 équations citées, reflète bien la notion de superposition abordée en introduction.

En quoi ces 2 équations nous permettent l’évaluation de l’induction dans l’air ?

De manière générale, il s’agit d’équations différentielles (spatiales) dont la résolution (en connaissant les conditions aux limites) fournit la connaissance de B dans tout l’espace. C’est ce que proposent les logiciels de résolution à éléments finis, tel que FLUX3D.

Quand on veut prédire, sans outil numérique, l’induction magnétique dans l’air pour une source (un courant) donnée, on utilise plutôt la forme intégrale du théorème d’Ampère, associé à des résultats déjà connus, comme la règle de la main droite.