les cours de Monsieur Eddy: Magnétostatisme dans les milieux

Définition d'un milieu:

Le magnétostatisme défini jusqu’ici s’applique uniquement dans le vide (dans l’air … c’est presque pareil), en considérant des sources de courant qui se baladent dedans.

Un « milieu » est une partie de l’espace susceptible de modifier le champ B en son sein ou en son voisinage, par rapport à l’allure de ce champ en absence de ce dit milieu.

Nous verrons que la modification qu’apporte ce milieu au champ peut être modélisée par une considération de courant supplémentaire, dits d’aimantation (jaim) qui vient se superposer aux courants « réels », que l’on qualifie de libres pour éviter les confusions (j ou jl)

L’exemple ci-dessus sera à garder en tête : un milieu ferromagnétique a tendance à conduire le flux magnétique. Alors que la bobine dans le vide induit un champ qui se disperse « librement » dans l’air, la bobine enroulée autour d’un circuit fermé ferromagnétique induit dans ce dernier un champ homogène (les LDC restent parallèles entre elles), et qui ne fuit pas hors du matériau.

Notons :

· Que le circuit magnétique « a tendance » à conduire le flux, mais ne le conduit pas obligatoirement : si on fabrique un circuit fermé de 3km de long et qu’on l’entoure de 3cm de bobine, on sent bien que les LDC vont se reboucler dans l’air plutôt que de parcourir ces 3km

· Que, comme pour tout champ homogène, le rotationnel de B est nul : en aucun point du circuit magnétique on note un effet « tourbillon », c'est-à-dire un point atour duquel l’induction a tendance à tourner sur elle même

Le champ magnétique H et le champ d'aimantation M:

Le champ magnétique H au point M appartenant à un matériau est défini comme étant, à une constante près, l’induction que l’on trouverait en ce point si un volume infinitésimal autour de ce point était évidé.

L’induction B en ce point est la superposition de cette excitation et de la réaction, appelée champ d’aimantation et notée M (on parle aussi de J=M/µ₀)

Notons bien que H n’est pas l’induction B qui serait présente en l’absence totale du matériau : au point M où autour duquel on évide le matériau, l’induction (dans le vide donc) dépend (outre des sources) de la réaction du matériau en tous les autres points du matériau. Cette réaction aux autres points dépend elle-même de l’excitation en ces points …. On retrouve là encore toute la complexité de la superposition des phénomènes physiques.

La réaction du matériau en un point N est du type : « il y a une excitation, le matériau la booste en y superposant une induction additionnelle M »

Dire que cette réaction « provoque » un champ de réaction H_réaction au point M est une notion assez floue. Ce n’est pas un champ qui est source d’un autre champ, mais des charges électriques en mouvement.

On modélise généralement M comme résultante de l’apparition de courants d’aimantation. Et ce sont ces courants qui induisent le champ de réaction. Cette modélisation intuitive reflète l’alignement physique des spins d’électrons au sein d’un matériau ferromagnétique soumis à une induction externe.

Au final, la modélisation du comportement des matériaux ferromagnétiques passe par

· Une méthode pragmatique, qui consiste à relever par expérience la réaction d’un matériau soumis à une excitation connue. Mais cela ne suffit pas, car il reste toujours à connaître l’excitation au point M avant de se référer au résultat de cette expérience pour connaître la valeur de la seule grandeur qui nous intéresse, l’induction B.

· La modélisation de la réaction du matériau par l’intégration des courants d’aimantation dans les équations de Maxwell. En effet, celle-ci nous permettra la détermination du champ H en tout point de l’espace (et par conséquent, pour un matériau connu, la connaissance de B)

La courbe B-H:

La première caractérisation d’un matériau est pragmatique : il s’agit, pour plein de valeurs d’excitations H possibles, de mesurer la résultante B. Notons que B est la seule grandeur mesurable : c’est bien l’induction, et non autre chose, qui est source d’une force (sur les électrons)

Par retranchement de H à B, nous pouvons faire toujours apparaître J, mais le tracé de la courbe B-H est plus usuel que celui de la courbe J-H.

Attention : savoir à quelle excitation H on travaille n’est pas trivial. Il est hors de question de faire un petit trou dans le matériau à caractériser pour aller y mesurer B et le diviser par µ₀ (quoique, au moins, cette méthode serait réfléchie)

· Soit on injecte un stimulus quelque part dans un montage d’essai, dont sait par calcul qu’il va produire l’excitation souhaitée (y’a pas intérêt à se tromper dans les calculs)

· Soit on mesure B à un endroit du montage d’essai, en sachant que cet endroit se comporte comme une partie évidée du matériau à analyser

Nous reviendrons plus tard sur les méthodes de caractérisation de la courbe B-H.

Intéressons-nous au résultat.

On peut dissocie 2 types de courbes B-H :

· Les courbes simples, qui vues de loin font apparaître une proportionnalité entre B et H tant que le matériau n’est pas saturé : on parle de matériaux ferromagnétiques doux.

· Les courbes à hystérésis : celles qui font apparaitre une relation différentes entre B et H selon l’historique du matériau (la manière dont il a été excité avant) On parle de matériaux ferromagnétiques forts. Les aimants font partie de cette famille.

Nous avons donc 2 notions à détaillées (en plus de la réaction la plus simple d’un matériau ferromagnétique) : la saturation d’un matériau (à laquelle est soumise tout matériau, doux ou fort) et l’hystérésis.

Perméabilité relative :

Quand un volume élémentaire de matériau est soumis à une excitation externe (H(N) sur le schéma précédent), une force agit sur ces électrons qui ont tendance à aligner leurs trajectoires, induisant ainsi un champ propre (M(N)) qui booste l’excitation source. La plupart du temps ce coup de booste se fait dans la même direction que le l’excitation. Par contre, il n’est pas rare que ce coup de boost marche moins bien dans certaines directions (on parle de matériau anisotrope)

Toujours est-il que ce coup de boost se traduit par une réaction proportionnelle à l’excitation :

De cette relation de proportionnalité découle directement une relation de proportionnalité entre B et H :

Les termes µ₀ et 1+ χ ne sont pas regroupés directement sous un seul et même coefficient de proportionnalité : 1+ χ, terme sans dimension, décrit justement le coup de boost que le matériau apporte à l’excitation par rapport à la relation entre B et H dans l’air. Ce terme est appelé perméabilité relative, et est noté µ_r :

· Dans le vide, µ_r=1

· Dans un matériau ferromagnétique µ_r atteint généralement plusieurs centaines

Pour la simplicité de l’écriture, le produit µ₀µ_r est regroupé sous le µ, que l’on appelle « perméabilité du matériau »

Si l’on regarde le matériau de loin, on peut souvent considérer la perméabilité du matériau comme une constante, qui ne dépend pas de H.

Si l’on regarde le matériau de plus près, alors on s’aperçoit que cette grandeur dépend de l’excitation, surtout dans les H faible. Il faut alors considérer la perméabilité locale :

Saturation d’un matériau :

Un matériau sature lorsque, malgré l’augmentation de l’excitation qu’il subit, il n’y a plus d’augmentation de sa réaction : B augmente avec H de la même manière qu’il le fait ans l’air.

Dans la partie saturée, on a donc

Hystérésis :

Première remarque, une bonne fois pour toutes : le mote Hystérésis est féminin. On ne dit pas « un hystérésis » mais « une hystérésis », ou « une hystérèse » Ces 2 synonymes ont pour définition :

Propriété d’un système ou d’un matériau dont l’état dépend de l’histoire des sollicitations auxquelles il a été soumis, ou du sens de variation de ces sollicitations.

L’hystérèse existe dans la plupart des matériaux ferromagnétiques, mais dans le dimensionnement des systèmes magnétiques, on ne le prend souvent en compte que pour les aimants : un aimant est un matériau ferromagnétique qui est utilisé justement pour ses caractéristiques de rémanence.

Prenons donc cet exemple particulier qu’est l’aimant : il est particulier en cela qu’en dehors de sa courbe de désaimantation, sa perméabilité est proche de celle de l’air. En effet, la perméabilité d’un aimant, en dehors de sa courbe de désaimantation, est proche de celle de l’air. En gros, un aimant, c’est de l’air avec une rémanence.

La caractéristique B-H d’un aimant « non aimanté » suit une courbe dite de première aimantation.

Si on amène son excitation H jusqu’à saturation (C), alors la redescente de H provoque une diminution de B sur une pente externe du cycle d’hystérésis. Comme précisé plus haut, la pente de cette caractéristique est proche de celle de l’air (µ₀) Si l’on diminue H jusqu’à l’annuler (D), alors l’induction correspondante est égale à ce que l’on appelle l’induction rémanente, et est notée Br : c’est l’induction résiduelle présente dans le matériau sous une excitation nulle. Notons bien qu’un aimant sous excitation nulle n’est pas l’état d’un aimant seul dans le vide : la présence d’une rémanence dans le voisinage du point M appartenant au matériau est source d’une excitation au point M, dans le sens opposé à la rémanence (le volume dτ auquel on s’intéresse a plus de voisins qui lui impose un champ externe négatif que de voisins qui lui imposent un champ externe positif) Un aimant seul dans le vide a donc un point de fonctionnement à H<0 (E)

Continuons à diminuer H, mais en restant sur cette partie linéaire (F) : à tout moment, si l’on décide de le ré augmenter, on va ré augmenter B en suivant cette droite … jusque là c’est logique.

Rediminuons H et entamons la rupture de pente qui marque la courbe de désaimantation (jusqu’au point G) : Toute remontée de l’excitation se fera avec la pente, non pas de la courbe de désaimantation, mais la pente de la partie linéaire : le chemin suivi s’appelle la droite de recul. Si l’on revient à excitation nulle par exemple, on ne va revenir à la rémanence atteinte initialement, mais à une autre, plus faible (K)

Si on avait diminué H jusqu’à la saturation, alors une ré augmentation nous fera suivre le chemin externe inférieur du cycle d’hystérésis. A champ nul, l’induction est égale à sa valeur de rémanence, mais dans le sens opposé.

Nous voyons donc qu’une infinité chemins existe au sein même d’un seul et même cycle d’hystérésis maximal.

Et encore, cela n’est qu’une approximation qui arrange bien nos dimensionnements, car si l’on regarde de près :

· La pente de la droite de recul n’est en fait pas égal à la pente de la partie linéaire externe (ici approximée à µ₀) : cette droite est légèrement plus pentue que la pente externe, ce qui fait que si l’on n’est pas partis trop loin dans la désaimantation, on a des chances de rejoindre le cycle externe.

· La droite de recul n’est en fait pas une droite, mais elle-même un cycle d’hystérésis interne

Les équations magnétostatiques dans les milieux:

Reprenons la définition de H :

Alors nous pouvons écrire que:

Puisque M est placé dans le vide, alors on peut y appliquer les équations du magnétostatisme dans le vide, on a alors :

où j_l est la densité de courant dans ce volume dτ « rempli de vide » Cette densité de courant exclut donc tout courant d’aimantation : il ne s’agit que de sources « libres » (d’où la notation j_l)

D’autre part, si l’on considère le point M, dont le volume élémentaire dτ qui l’entoure peut être considéré comme un volume « rempli de vide dans lequel circule des courant d’aimantation », on peut exprimer directement le rotationnel de B :

Et puisque

alors l’expression précédente revient à:

Enfin, si l’on réinjecte la propriété (1) dans cette expression, il vient finalement :

Nullité de j_aim dans un milieu linéaire:

Supposons un matériau ferromagnétique linéaire, dans lequel, par définition

Puisque

alors il vient

On rappelle que χ, facteur de linéarité entre l’excitation H et la réaction locale M est appelé susceptibilité magnétique.

Supposons que ce matériau ferromagnétique ne soit pas parcouru par des sources libres (ce qui est généralement le cas), alors:

D’après la relation entre M et H que nous venons d’établir pour un matériau linéaire, alors cela équivaut à:

Et puisque:

alors cela signifie que

· Pour un matériau ferromagnétique linéaire

· Non parcouru par des sources libres

Alors le vecteur d’aimantation volumique est nul :

Le résultat de cette démonstration très mathématique pouvait être prévu en réfléchissant un peu.

Supposons un milieu (ou un morceau de milieu) dans lequel H est unidirectionnel. Son irrotationnalité, imposée par l’absence de sources libres, équivaut alors à une homogénéité (si H n’était pas homogène alors son rotationnel ne serait pas nul)

Si H est homogène dans le matériau, c’est que la réaction de ce matériau l’est aussi. Cette réaction peut être vue comme l’apparition de spires de courants autour de chaque volume élémentaire dτ.

En fait, les courants d’aimantation volumiques correspondent à la densité volumique de ces spires (non démontré ici), ou plus exactement à la densité volumique des moments magnétiques :

Dans un milieu homogène, on se retrouve donc avec une juxtaposition de spires de courants d’aimantation dont chaque branche s’annule avec la branche voisine. Au final, la superposition de ces spires est nulle. On retrouve donc le fait que la circulation totale des courants d’aimantation est nulle.

Les courants d'aimantations surfaciques:

Mais ce résultat est valable tant qu’il y a des spires voisines. En surface du matériau subsiste un courant surfacique non nul. Là aussi ce résultat pouvait être prévu. Supposons notre exemple de matériau conducteur autour duquel est bobiné un fil :

· L’excitation est provoquée par le bobinage autour du matériau

· La réaction, si elle est proportionnelle à cette excitation, doit avoir la même forme, i.e. un « bobinage » autour du matériau.

Ce bobinage de réaction appartient au matériau, et dans le même temps est disposé autour de ce dernier : il ne prend donc de valeur qu’à l’interface entre les 2 milieux, i.e. à la surface du matériau.

Donc au final on aura bien plus souvent de courants surfaciques sur un matériau ferromagnétique que de courants volumiques.

Il faut donc les quantifier. Nous utilisons pour cela la correspondance densité volumique/densité surfacique

On considère un point M(x,y,z) situé sur la dernière tranche (selon un découpage volumique) d’un matériau ferromagnétique:

Nous avons, en ce point « surfacique »:

D’une part:

En effet, M étant nul sur la face supérieure du matériau, car appartenant par convention à l’extérieur,

Soit,

D’autre part:

Finalement on a, quelque soit l’orientation du repère (x,y,z) choisi:

Cela entraîne que, en tout point appartenant à la surface d’un matériau ferromagnétique (quelque soit sa nature), on a

avec:

· js le courant d’aimantation surfacique

· M le vecteur aimantation en un point de la « surface » (dernière tranche du découpage volumique du matériau)

· n le vecteur unitaire normal à la surface du matériau

Equations de magnétostatisme dans les milieux:

TAAADDDAAAAA ... on en est venu à bout: on peut enfin exprimer les équations de magnétostatisme dans les milieux, et sans omettre comme cela est souvent le cas dans la littérature, l'expression des courant d'aimantation surfaciques:

Où :

· H est le champ magnétique, i.e., à une constante µ₀ près, l’induction magnétique au point considéré si le volume élémentaire dτ autour de ce point était rempli de vide.

· j_l est la densité volumique de courant libre

· j_aim est la densité volumique de courant d’aimantation. Cette grandeur est nulle dans un matériau linéaire dans lequel il n’y a pas de sources libres

· j_s est la densité surfacique de courant d’aimantation. Cette grandeur représente souvent l’essentiel de la réaction M d’un matériau à l’apparition d’une excitation H

· n est le vecteur normal unitaire de la surface du matériau (dirigé vers l’extérieur du matériau)

L'analogie électrique:

Et voilà le passage le plus important de cette partie sur l’électro magnétisme…

Partons de la propriété de conservation du flux de l’induction. On peut assimiler le flux de B à n’importe quel débit, fluidique ou débit de charges…. Considérons ce second exemple, et assimilons Φ à une intensité i (ou plutôt I, la notation majuscule soulignant le caractère statique du régime considéré)

Pour que cette analogie serve à quelque chose, il va falloir trouver une grandeur X à identifier à U et une grandeur Y à identifier à R telles que X=Y.Φ

Puisque nous avons déjà exploité la propriété , il ne nous plus reste pour cela que

Mais l’analogie électrique traite de grandeurs globales … nous considérons donc la forme globale du théorème d’Ampère, soit

(I_enlacé étant le courant total enlacé par le chemin fermé L=NI si ce courant est discrétisé par le passage de N fil dans lesquels débite le même courant I)

Nous considérons comme chemin fermé L le chemin que suit un TDC, que ce chemin passe ou non par différents matériaux, pourvu que ces matériaux soient linéaires

On a

Découpons le chemin L en tronçons, selon que L soit dans un matériau ferromagnétique ou dans l’air :

Soit, de manière générale :

avec L_k le tronçon de (L) dans le matériau k

Or, en tout point du chemin :

Pour chaque tronçon du TDC considéré, on a donc :

Aussi, puisque l’on se place dans un TDC, B est colinéaire à tout déplacement élémentaire dl sur le chemin (L) :

où dS est la section normale du TDC

On a donc, pour chaque tronçon du TDC considéré :

Et puisque le flux Φ est conservatif (c’est le même pour toute position considérée sur L), alors

Au final, le long d’un TDC refermé sur lui-même, et traversant différents matériaux k on a

avec

où:

µ_k est la perméabilité est la perméabilité du matériau k
dS est la section normale au TDC (orthogonale au déplacement dl dans ce TDC)

Le terme:

est appelé reluctance du matériau, et est noté R.

Cette expression se rapproche de l’expression d’une résistance électrique:

où σ est la conductivité du matériau de longueur L, aux bornes de laquelle une différence de potentiel U va donner naissance à un courant I tel que I=U/R. Cette différence de potentiel U est appelé force électromotrice. On montre qu’elle est égale à la circulation du champ E le long du conducteur ohmique

Par analogie on nomme donc la circulation de H force magnétomotrice.

Ici, on peut voir le tronçon k de reluctance R_k comme pouvant être excité par une différence de potentiel

Tout comme une résistance électrique doit être excitée par une source de tension U pour générer un courant I=U/R, ce tronçon doit être excité par une source magnétomotrice (source de circulation de H) pour se voir traverser par un flux Φ=HL/R.

dans le cas de la résistance, on raccorde R au générateur par 2 fils de résistance nulle
dans le cas du tronçon de matériau, il faudrait le raccorder au générateur par des tronçons de reluctance très faible par rapport au tronçon étudié

La source magnétomotrice la plus courante est le passage de boucles de courant à l’intérieur du circuit de reluctance que l’on considère.

Mais attention : le passage d’ampères-tours n’est pas le seul moyen d’imposer une force magnétomotrice : on peut aussi utiliser un aimant.

En effet, de ce que l’on a vu des matériaux rémanents, si l’on excite un matériau ferromagnétique via un aimant via une jonction de reluctance nulle, on a :