J'ai toujours été impressionné par la capacité qu'ont les étudiants de classes préparatoires à accepter n'importe quelle vérité pourvu que ça leur donne des équations à manipuler.
L'apprentissage des équations de Maxwell en reste le plus bel exemple.
On peut leur balancer qu'il existe des champs B et E tel que:
avec la définition des opérateurs divergence et rotationnel (prononcer "dive" et "rote" pour les plus écervelés) suivante
Pour les aider, on leur dit qu'il existe une relation magique, dite de Green-Ostrogradsky...
... qui permet de retrouver les lois intégrales de Gauss, Ampère ...
Théorème d'Ampère (magnetostatique)
Eh ben, pas de problème, dans l'esprit de tous, un type qui s'appelait Maxwell s'est réveillé un jour en pondant ces 4 équations, et uniquement ces 4 là, en se disant que ce serait bien de créer au passage des opérateurs à base de produits scalaire et vectoriel, et 2 autres, moins connus car avec des noms à l'orthographe plus difficile à retenir (enfin, surtout le russe), se sont dit "tiens, je vais chercher des relations entre circulations, flux et intégrales volumiques faisant intervenir ces opérateurs" Par miracle, grâce aux travaux de ces p'tits gars, on a retrouvé les résultats de Gauss et d'Ampère
Eh bien non, les bases de l'élecromagnétisme dans le vide ont bel et bien été fondées par Gauss et Ampère (Maxwell a surtout apporté l'effet temporel dans ces phénomènes physiques) Ils nous ont livré des équations globales traitant de la circulation d'un champ sur un chemin (fermé pour le coup) et du flux d'un champ à travers une surface (fermée elle aussi)
Ensuite, des gens se sont dit "pas très pratique ces lois globales ... ce serait mieux d'avoir une description locales des phénomènes physiques"
Mais, puisque ces lois locales étaient valables sur tout chemin, sur toute surface, cela était vrai sur un chemin ou sur une surface infiniment petite.
Ils ont donc commencé par définir la divergence comme le flux d'un champ à travers une surface fermée infiniment petite. Pour que cette grandeur reste finie, on l'a divisée par le volume que forme cette surface fermée.
Pour le rotationnel, c'était un peu plus compliqué: on voulait bien définir une circulation élémentaire autour d'un point de l'espace ... mais autour de quelle direction? Pas le choix, il fallait considérer les 3 directions possibles!
Considérons le volume élémentaire "qui part" du point M(x,y,z) de l'espace...
... et calculons la circulation d'un vecteur A sur le chemin fermé (dLx)
On peut donc exprimer la première composante du rotationnel de A:
Et de même pour les 2 autres:
On retombe bien sur la définition "mathématique" du rotationnel.
Il en va de même pour la divergence (et c'est encore plus simple)
Nous pouvons donc associer des définitions locales mathématiques aux opérateurs rotationnel et divergence. Cette définition peut s'exprimer en fonction de l'opérateur Nabla:
L'opérateur Nabla s'écrit par la lettre grecque DELTA renversée, du fait de son origine d'opérateur différentiel. Il a été nommé ainsi du fait de sa ressemblance avec une harpe grecque, qui portait ce nom ... et non pour une passion de Maxwell pour une certaine marque de bière :)
Notons que cet opérateur avait dans un premier temps été nommé ATLED (DELTA à l'envers) par Maxwell.
Mais revenons à notre définition originelle du rotationnel, et supposons les "dSx, dSy,dSz" comme les composantes d'un vecteur "surface élémentaire" dS:
On observe que la somme des circulations de A sur es contours dLx, dLy et dLz peut se simplifier par l'annulation des circulations opposées dans les différents termes:
Au final, on a donc un flux du rotationnel de A
Du point de vue notation, je vous l'accorde, c'est pas terrible (l'intégrale sur une entité infiniment petite ... on garde ça pour le brouillon) Eh bien, soit, plutôt que d'exprimer le flux du rotationnel de A à travers une surface élémentaire, on l'exprime à travers une surface finie. C'est simple, il suffit d'additionner des surfaces élémentaires! De l'autre côté de l'équation, l'expression de la circulation de A se simplifie encore une fois avec les circulations inverses sur les arêtes communes entre surfaces.
Et au final ... taddaaaaaa, nous obtenons, pour toute surface S de l'espace délimité par le contour fermé (L):
Et c'est la même histoire pour la divergence:
Bref, on a démontré les formules de Green-Ostrogradsky. Elles sont la conséquence directe de la définition originelle des opérateurs divergence et rotationnel, et non une trouvaille magique à partir de leurs formes mathématiques !!
Allez, je l'avoue: quand j'étais en prépa, moi aussi j'étais idiot. Enfin, à demi idiot car à l'époque je me suis quand même poser la question de savoir d'où débarquaient ces opérateurs, et comment Green et Ostrograsky avaient démontré leurs formules ... mais je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir.
Ben voilà, c'est fait :) ... si un élève de prépa lit cet article, et s'est senti aidé dans sa compréhension, qu'il me le dise en commentaire, ça me fera plaisir !!
Ah, un dernier truc: Maxwell n'a pas été le seul à travailler sur le sujet. Et je crois bien que c'est Heaviside qui a réduit les équations à formuler pour caractériser les champ B et E au nombre de 4. Pour info, c'est Heaviside qui le premier a eu l'idée de résoudre les équations différentielles en posant une variable qui, en facteur d'une grandeur physique, symbolise la dérivée de cette dernière (cette méthode a été d'abord contestée, puis démontrée à l'aide des équations de Laplace)
Gauss: allemand, 1777-1855
Ampère: français, 1775-1836
Maxwell: écossais, 1831-1879
Green: britanninque, 1793-1841
Ostrogradsky: russe, 1801-1862
Heaviside: britannique, 1850-1925
Voilà, vous avez appris la signification physique et l'origine des opérateurs divergence et rotationnel. C'est le plus important. Vous êtes maintenant prêt à comprendre les phénomènes physiques qui se cachent derrière les équations qui les utilisent.
Mais ne vous lancez pas à corps perdu dans l'electromagnétisme dans les milieux ... commencez donc par le magnétostatisme dans le vide
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